Harfensaiten (Berechnung)

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Schon in der Antike beschäftigte sich die Wissenschaft (Pythagoras) um die akustischen Zusammenhänge. Erst Galileo Galilei (1564-1642) wendet sich wieder der systematischen Untersuchung der Verhältnisse von Saitenstärken, Saitenzugspannungen und Saitenlängen zu. Etwa zur gleichen Zeit erscheint 1636 das Buch „Harmonie Universelle", von Marin Mersenne. Dieses Werk beinhaltet das Wissen der Musikwissenschaft des 17. Jhdt. Dort beschreibt Mersenne unter Anderem auch die Gesetze der schwingenden Saite. Dabei kommt er unabhängig von Galileo Galilei zu ganz ähnlichen Erkenntnissen.

Der Mathematiker Brook Taylor wurde 1685 England geboren, und entwickelte über Analogiebetrachtung die erste Formel zur Deutung von Saitenschwingung. Die originale Formel muß zur Verwendbarkeit aber umgedeutet werden und stellt sich als sogenannte "Taylorsche Formel" wie folgt dar:

[math]f = \frac{1}{2 \cdot l} \cdot \sqrt \frac{F}{m}[/math]


Eine kurze Darstellung der Begriffe von Kraft und Spannung

  • Die Zugkraft ist das Produkt aus Masse und Beschleunigung. Demnach ist die Maßeinheit ein Newton (N)
[math]F = m \cdot a[/math]
  • Die Saitenspannung wird mit S (Sigma) bezeichnet. Die Formel zur Berechnung der Spannung lautet: Sigma ist die Saitenspannkraft geteilt durch die Fläche des Saitenquerschnitt.
[math]\sigma = \frac{F}{A}[/math]


Obwohl es im physikalischen Sinn nicht richtig diese beiden Kräfte gleichbedeutend zu verwenden, wird im Allgemeinen täglichen Sprachgebrauch auf der ganzen Welt die Saitenzugkraft von Musikern, Instrumentenbauern und Saitenherstellern auch als Saitenspannung bezeichnet.

Transversal-und Longitudinal-Schwingung

Torsionsschwingung

Beim Zupfen der Saite wird durch das Abgleiten des Fingers die Saite um ihre Längsachse gedreht.

Diese Verdrehung (Torsion) des Kerns unterliegt ebenfalls den Gesetzen der Schwingung.

Insbesondere bei dem Übergangsbereich von den blanken Saiten zu den Basssaiten mit Metallkern, werden häufig auch Saiten verwendet mit einem Kern aus Nylonfäden, die dann mit Nylon oder auch Metall umwickelt sind. Diese Saiten kommen auch bei den Einfachpedalharfen/Volksharfen immer vor. Diese Saiten besitzen eine ausgeprägte Torsionsschwingung.

Je niedriger die Spannung einer Saite ist und umso dünner ein solcher Seitenkern ist, desto stärker ist diese rollende Bewegung spürbar. Diese Torsionsschwingung geht beim Ausschwingen in eine Transversalschwingung über. Wichtig ist, dass diese Schwingung an sich tonlos ist aber in der Saite eine Longitudinalschwingung verursachen.

Praktische Saitenberechnung

Exemplarisch die Berechnung der Spannkraft einer Darmsaite. Dazu ist es notwendig die Taylorsche Formel umzustellen.

Aufgabe ist, die Spannkraft einer d Harfensaite in Darm zu berechnen. Die Werte müssen in Kg und Meter eingesetzt werden

[math] \operatorname P = \frac{4 l^{2} n^{2}qs}{g} [/math]

Die gegebenen Werte sind

[math]l[/math]: Länge der Saite in m (z. B. 0,78 m)

[math]n[/math]: Frequenz (Schwingungszahl) in Hz der Saite (z. B. 146,8 Hz)

[math]q[/math]: Querschnittfläche der Saite in [math]m^{2}[/math] (z. B. Durchmesser 1,35 mm)
[math]q = r^{2} \pi = \left ( \frac{d}{2} \right ) ^{2} \pi = \left ( \frac{0,00135m}{2} \right )^{2} \pi \approx 0,000001431~m^{2}[/math]

[math]s[/math]: Spezifische Gewicht in [math]\frac{kg}{m^{3}}[/math] (z. B. Darmsaiten: [math]1300 \frac{kg}{m^{3}}[/math])

[math]g[/math]: Schwerkraft oder Erdbeschleunigung (in Deutschland: [math]9,81 \frac{m}{s^{2}}[/math])


[math] \operatorname P = \frac{4 \cdot 0,6084 \cdot 21550,24 \cdot 0,000001431 \cdot 1300}{9,81} ~kg = \frac{97,54}{9,81} ~kg= ~9,94 ~kg~ Zugkraft [/math]

Spezifische Gewichte

Saite aus Spezifisches Gewicht in kg/m³
Darm 1300
Nylon 1040
Nylgut 1260
Carbon 1791
Stahl 7800
Bronze 8600


Durch die Umstellung der Formel können alle Parameter berechnet werde.

Saitenberechnung mit Software im Internet